De investigación.

Problema 471

Propuesto por  Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priegode Córdoba)

Sean ABC un triángulo e I su incentro. Construir la cónica que pasa por A, B y C siendo tangente en B y C a las bisectrices BI y CI. Demostrar que esta cónica es siempre una hipérbola. Demostrar que la polar trilineal de cualquier punto P sobre ella pasa por el excentro correspondiente a A, y que si XYZ es el triángulo ceviano de P entonces Y, Z e I siempre están alineados.

Polar trilineal. Sean ABC es un triángulo y P un punto de su plano. Si las rectas AX, BY, CZ cortan a los lados BC, CA, AB en los puntos X, Y, Z, es decir, si XYZ es el triángulo ceviano de P respecto de ABC, entonces, por el teorema de Desargues, los puntos de intersección

X' = BC ∩ YZ,    Y' = CA ∩ ZX,    Z' = AB ∩ XY

están alineados. La recta que los contiene se llama polar trilineal del punto P respecto del triángulo ABC.

García, F.J. (2008) Comunicación personal.