De investigación

Propuesta de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona)

Problema 476

Dado un triángulo ABC y P un punto de su plano; llamamos A1 a la proyección ortogonal de P sobre BC, B1 a la proyección ortogonal de P sobre CA y C1 a la proyección ortogonal de P sobre AB. Sea Σ el lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas AA1, BB1, CC1 son concurrentes; se pide:

1. Caracterizar el lugar Σ como una curva algebraica de orden n y determinar n.


2. Demostrar que el lugar Σ tiene al circuncentro O como centro de simetría.


3. Demostrar que los vértices del triángulo A, B, C, el incentro I, los ex-incentros Ia, Ib, Ic, el circuncentro O y el ortocentro H pertenecen al lugar Σ.


4. Hallar una ecuación del lugar.


5. Demostrar que si P es un punto del lugar Σ,entonces Pi el conjugado isogonal de P también es de la curva.


6.  Demostrar que si P es un punto del lugar Σ, todas las rectas PPi pasan por un punto fijo que se determinará.


7. ¿Cómo cambia el lugar Σ en el caso de que ABC sea un triángulo isósceles?

José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona).