Problema 400
Sea S el área del triángulo 
, 
de perímetro 2p. Probar
que:
¿Cuándo se alcanza la igualdad en cada
miembro?
Smith, C.D. (1930): On boundary values for area a
triángulo. Mathematics News Letter, Vol.4, n.8, (June, 1930), pp. 7-9.
Solución: Ricard Peiró.
Sea r el radio de la circunferencia inscrita.
. 
.
, 
Probemos que 
.
Si , entonces, 
, 
.
Entonces, 
.
.
, 
, 
.
.
Entonces, 
.
La desigualdad siempre es estricta.
Probemos que 
.
Si y sólo si 
.
.
, 
. 
. Entonces, 
Probemos que 
.
. Dividiendo entre 
.
Consideremos la función 
, 
.
La función definida en este intervalo es negativa. 
.
Entonces, y la igualdad se
alcanza cuando 
.
Entonces,
Supongamos que
Entonces,
.
Dividiendo entre 
.
, 
.
Consideremos la función:
, 
La función definida en este intervalo es negativa. 
.
Entonces, la igualdad se alcanza cuando 
es decir, cuando el
triángulo es equilátero.