Problema 401. Construir un triángulo dado: Un lado a, el inradio r y la medida del ángulo A opuesto al lado a.

Resolución: (Vicente Vicario García, Huelva). Daremos dos soluciones alternativas al problema.

Resolución 1ª: Consideremos el incentro I del triángulo ABC y observemos que el ángulo . Por tanto, el incentro pertenece al arco capaz desde el que se subtiende este ángulo sobre el lado . Es inmediato trazar con regla y compás este arco. Por otro lado, I está a una distancia r del lado BC, es decir, sobre la paralela a este lado a distancia r del mismo. También es inmediato trazar dicha paralela. Finalmente, cada intersección de las dos líneas proporciona una posición posible para I. Se traza entonces la circunferencia inscrita y después, también fácilmente con regla y compás, las tangentes desde B y C a esta circunferencia para obtener el vértice A. Tenemos, pues, dos soluciones simétricas.

Resolución 2ª: Consideremos trazado un ángulo A de amplitud dada, cuyo vértice también lo denotaremos por A. Fácilmente se puede trazar con regla y compás, a partir de la bisectriz del ángulo y paralela a distancia r, la circunferencia de radio r inscrita en el mismo. Por otra parte, la distancia AT del punto de contacto T de esta circunferencia al vértice A es conocida, de valor , donde s es el semiperímetro del triángulo.

Sabemos también que la distancia del punto de contacto de la circunferencia excrita al supuesto triángulo ABC cuyo centro pertenece a la bisectriz del ángulo A, es también conocida de valor s. Por tanto, la distancia entre los dos puntos de contacto T y es entonces a. Tracemos entonces, con regla y compás, esta circunferencia excrita . Finalmente, para obtener el triángulo ABC pedido trazamos con regla y compás las tangentes comunes a las circunferencias y obteniendo dos triángulos soluciones simétricos.