Problema 403. Demostrar que si una recta divide a un triángulo ABC en dos polígonos del mismo perímetro y de la misma área, entonces debe pasar por el incentro I de ABC. Demostrar también, sin necesidad de construcción geométrica, la existencia de tal recta.

(Propuesto por Vicente Vicario García, Huelva).

Resolución: (Vicente Vicario García, Huelva)

Sea una recta t que divide a un triángulo dado ABC en dos polígonos del mismo perímetro y de la misma área. Claramente dicha recta no podrá pasar por uno de los vértices del triángulo y cortará exactamente a dos lados del mismo. Sea P, sin pérdida de generalidad, el punto de intersección de dicha recta t con la bisectriz correspondiente al vértice C, D el punto de intersección de t con el lado AC y E el punto de intersección de t con el lado BC.

Sean las perpendiculares desde P a los lados AC, BC y AB respectivamente. Por hipótesis, los perímetros y áreas de ABED y DEC coinciden, luego

[1]

[2]

Ahora, por las propiedades de la bisectriz tenemos que . Multiplicando por PG la relación [1] y la [2] por dos y restándolas, resulta

Se tiene así que , luego P equidista de los lados del triángulo por lo que es su incentro I.

Para demostrar la existencia de la recta t a partir de cualquier triángulo dado ABC, bastará con un argumento relacionado con la continuidad de las funciones de una variable real, en particular, con el teorema de Bolzano. Escojamos dos puntos cualesquiera P y Q sobre la periferia del triángulo dado y cuya distancia mutua medida sobre dicha periferia, sea el semiperímetro s del triángulo. Tracemos la recta que une estos puntos y consideremos el área de las dos regiones que aparecen debido al corte de la recta con el triángulo. Consideremos la orientación inicial de nuestra recta como de ángulo 0º y construyamos la función que resulta de restar el área de una de estas regiones menos el área de la otra. Esta función así definida es una función real de variable real y contínua en su dominio. Si esta diferencia es precisamente nula, la proposición estaría demostrada. En cualquier caso, al mover los puntos P y Q a la vez en el mismo sentido sobre la periferia del triángulo, manteniendo la distancia periferial entre ambos constante s, ocurrirá que, cuando intercambien sus posiciones (ángulo de 180º) la función contínua anterior definida como diferencia de áreas, cambia de signo. Por tanto, en virtud del teorema de Bolzano relativo a las funciones contínuas, se deduce que en una posición determinada la recta que pasa por los puntos P y Q, divide el triángulo original en dos regiones de igual área y de igual perímetro. Observemos también que esta demostración de existencia es no constructiva, pero garantiza la existencia de la recta t en cuestión, que es lo que se pretendía.

Problema 2. Sea un triángulo acutángulo ABC y sea P un punto interior al mismo. Sean los ángulos , , . Caracterizar el punto P de manera que la suma sea mínima.