Problema 404

Siguen p, r, R el semiperímetre, radi del cercle inscrit i radi del cercle circumscrit al triangle , respectivament. Demostreu que: .

Solució de Ricard Peiró:

Del teorema d’Euler de la distància entre el incentre i el circumcentre:

, aleshores, la igualtat s’assoleix quan el triangle és equilàter.

La circumferència inscrita és interior al triangle, aleshores el seu perímetre és menor que el perímetre del triangle, per tant:

, aleshores, la igualtat no s’assoleix mai.

Multiplicant les dues desigualtats:

.