Problema 404. Si s, r y R son el semiperímetro, radio inscrito y radio circunscrito al triángulo ABC, demostrar que . ¿Se alcanza la anulación?.

(Propuesto por J. Bosco Romero Márquez)

Resolución: (Vicente Vicario García)

Usaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Para demostrar la desigualdad anterior, demostraremos previamente un lema.

Lema: “Si R, r y s son, respectivamente, el circunradio, inradio y semiperímetro de un triángulo se cumplen las siguientes desigualdades ”.

Demostremos la primera desigualdad. Es claro que siendo , , y aplicando la desigualdad entre las media aritmética y geométrica tenemos que

[1]

Por otra parte, a partir de la expresión de Herón del área de un triángulo y la relación clásica para el área de un triángulo, tenemos

[2]

Entonces, llevando la expresión [2] a la [1], tenemos que

[3]

que demuestra la primera desigualdad. La igualdad se da sólo en el triángulo equilátero.

Para demostrar la segunda desigualdad podemos aplicar el teorema de los senos generalizado y la desigualdad de Jensen a la función cóncava en el intervalo resultando

[4]

lo que demuestra la segunda desigualdad. De nuevo tenemos igualdad sólo para el triángulo equilátero.

Finalmente, para nuestro problema particular, tenemos la siguiente cadena de desigualdades que resultan de aplicar [3] y [4]

con igualdad sólo en el triángulo equilátero. La anulación, pues, no se puede dar y como vemos, la desigualdad del enunciado es mejorable.