Problema 405.- (Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid).

Dados dos triángulos ABC y A´B´C´ que verifican:

(a)   Los ángulos B y B´ son iguales y la suma de los ángulos A y A´ es dos rectos

o

(b)   Los ángulos A y A´ son mayores o iguales que un recto

Probar que entonces entre sus lados se verifica la siguiente desigualdad:

                                              

Resolución: (Vicente Vicario García, Huelva)

(b) Sean los ángulos A y A´ mayores o iguales que un recto. Entonces aplicando el teorema de los cosenos a los triángulos ABC y A´B´C´ tenemos

                                               [1]

                                                [2]

            Teniendo ahora en cuenta la doble identidad siguiente

                      [3]

aplicada a las desigualdades [1] y [2] anteriores, tenemos que

de la que  deducimos claramente las dos relaciones

,                                              [4]

            Finalmente, a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y [4] se tiene

           

            La igualdad se cumple cuando los ángulos A y A´ sean rectos y los triángulos sean isósceles.