Problema 406

Dues rectes traçades des d’un vèrtex d’un triangle equilàter divideixen el semicercle exterior construït sobre el costat oposat en tres arcs iguals, aleshores aquestes rectes divideixen el costat oposat en tres segments iguals.

Coxeter. “Retorno a la geometría” pàgina 26 exercici 5

Figura coxeterp26.fig

Applet created on 26/09/07 by User with CabriJava

Solució Ricard Peiró:

Siga el triangle equilàter , . Siga M el punt mig del costat .

.

Considerem la semicircumferència de diàmetre , exterior al triangle.

Siguen P Q punts de la semicircumferència tal que divideixen la semicircumferència.

. Siga .

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

. .

.

, .

Siga D la intersecció de la recta AP i el costat , i E la intersecció de la recta AQ i el costat .

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle , :

.

Aleshores, .

Anàlogament, .

,

. .

Aleshores les rectes AP, AQ divideixen el costat en tres segments iguals.