De investigación

Propuesto por de Juan Carlos Salazar, profesor de Geometría del Equipo Olímpico de Venezuela.(Puerto Ordaz )

Problema 408

En el triángulo ABC, B=40º, C=20º, D en BC, BD=AC. Hallar <DAC.

Salazar, J. C. (2004): Comunicación personal.

La construcción se puede realizar con Cabri construyendo un triángulo ABC de 120, 20, 40 y llevando AC paralelamente sobre B, y con radio BF y centro C construir la circunferencia que cortará a BC en D.

Sea <DAC=x el ángulo buscado.

Es en el triángulo ABD: BD/sen (120-x)= AB/sen(20+x)=AD/sen 40

Y en el triángulo ABC: BC/sen 120 = AC/sen 40 = AB/sen 20

Es, por tanto, BD= AB sen (120-x)/sen (20+x)

Y AC= AB sen 40 /sen 20

Al ser AC=BD, debe ser:  AB sen (120-x)/sen (20+x)= AB sen 40 /sen 20

 

 

 

Es decir,

sen 120 cos x sen 20 – cos 120 sen x sen 20 =  sen 40 sen 20 cos x + sen 40 sen x cos 20

de donde:

sen x /cos x = tg x = (sen 20 sen 120 – sen 40 sen 20)/(cos 120 sen 20 + sen 40 cos 20)

De donde x =10.

Solución de Ricardo Barroso Campos

Director de tianguloscabri

Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Sevilla