Problema 408

En el triángulo ABC, B=40º, C=20º, D en BC, BD=AC. Hallar <DAC.

Salazar, J. C. (2004): Comunicación personal.

Solución Ricard Peiró:

Sea la bisectriz  de el ángulo B.

El triángulo  és isósceles, .

Sea F el punto de intersección de la bisectriz  i .

Sea .

Aplicando la propiedad de la bisectriz al triángulo :

, entonces,                       (1)

Aplicando el teorema de los senos al triángulo :

                                                                (2)

Aplicando el teorema de los senos al triángulo :

                                                     (3)

Dividiendo las expresiones (2) i (3)

                                           (4)

Substituyendo la expresión (1) en la expresión (4)

                                           (5)

Simplificando:

                                               (6)

Aplicando el teorema de los senos al triángulo :

                                                                       (7)

Substituyendo la expresión (7) en la expresión (6):

                                     (8)

Simplificando:

                                                 (9)

                                         (10)

                                                    (11)

                                                    (12)

                                          (13)

                                           (14)

                                                 (15)

                                    (16)

                                        (17)

                                                     (18)

                                                     (19)

                                                              (20)

                                                     (21)

Entonces, .

.

.

Entonces, .