Problema 409.- (Propuesto por J. M. Pedret. Ingeniero Naval. Espulgas de Llobregat).

Sea un círculo  de centro O. Sobre su circunferencia, se toman dos puntos fijos B y C que son los vértices de la base de un triángulo ABC, inscrito en el círculo .

(a)   Si el vértice A recorre la circunferencia de , hallar el lugar geométrico del ortocentro H del triángulo ABC

(b)   Sean A´, B´, C´ las intersecciones de la circunferencia  respectivamente con las bisectrices interiores de los ángulos A, B, C. Si el vértice A recorre la circunferencia de , hallar el lugar geométrico del ortocentro H´ del triángulo A´B´C´

Resolución: (Vicente Vicario García, Huelva)

(a)    Sea H es el ortocentro del triángulo ABC. Entonces los ángulos  y son suplementarios, ya que BH es perpendicular a AC y CH lo es a BA, luego H recorre la circunferencia simétrica de la dada respecto de la recta BC.

(b)   Sea I el incentro del triángulo ABC. Es bien conocido que las bisectrices interiores de los ángulos de un triángulo inscrito en una circunferencia intersecan las mediatrices correspondientes al lado opuesto, en un punto de la circunferencia circunscrita que coincide con el punto medio del arco correspondiente. Utilizando también el teorema del ángulo inscrito, llegamos a la siguiente relación                  

                            

Observamos entonces que , y por tanto, estos ángulos son suplementarios. De forma análoga tendríamos la suplementariedad de los ángulos  y . Entonces el ortocentro H´ del triángulo A´B´C´ así construido, coincide con el incentro I del triángulo ABC original. Por tanto, tenemos que buscar el lugar geométrico que describe el incentro I del triángulo ABC cuando A recorre la circunferencia.

            Supongamos que A recorre el arco BC (en sentido positivo) y sea F el punto medio del arco BC. Consideremos la circunferencia que pasa por los puntos B, I y C y sea M su centro. Es claro que M está en la mediatriz de BC y se verifica que . Como por otro lado y además, F está en la mediatriz de BC se deduce que .

            Así, cuando A recorre el arco CB , el incentro I , o lo que es lo mismo, el ortocentro H´ recorre el arco CB de la circunferencia cuyo centro es F, punto medio del arco BC. Análogamente, cuando A recorre el arco BC , el incentro I, o lo que es lo mismo, el ortocentro H´ recorre el arco BC de la circunferencia cuyo centro es E , punto medio del arco CB.