De investigación. Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 410. Demostrar la fórmula

`(a r_a)/(r_a - r) + (b r_b)/(r_b - r)+(c r_c)/(r_c - r)=3p`

Donde `r_a, r_b, r_c` son los radios de los círculos ex-inscritos, al triángulo `A B C`, respectivamente, y `p` el semi-perímetro.

Lemoine, E. (1900) El progreso matemático (2) II, p. 336 (Cuestión 343). Zaragoza
Lemoine, E. (1902) Revista Trimestral de Matemáticas, Año II, Diciembre N. 8 p. 192. Zaragoza.

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (18 de octubre de 2007)

SOLUCIÓN

Para llegar a la demostración propuesta daremos por sabidas las siguientes expresiones

`r=sqrt(((p-a)(p-b)(p-c))/p)`
`r_a=sqrt((p(p-b)(p-c))/(p-a))\ \ \ \ r_b=sqrt((p(p-a)(p-c))/(p-b))\ \ \ \ r_c=sqrt((p(p-a)(p-b))/(p-c))`

En función de lo anterior, expresamos el primer sumando como

`(a r_a)/(r_a-r)=(a sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a))))/(sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a)))-sqrt(((p-a)(p-b)(p-c))/p))`

que sin cambiar la ecuación podemos escribir como

`(a r_a)/(r_a-r)=(a sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a))))/(sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a)))-sqrt(((p-a)(p-b)(p-c))/p))*(sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a)))+sqrt(((p-a)(p-b)(p-c))/p))/(sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a)))+sqrt(((p-a)(p-b)(p-c))/p))`

y operando en el numerador y el denominador respectivamente, obtenemos

`(a r_a)/(r_a-r)=a (sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a))*(p(p-b)(p-c))/((p-a)))+sqrt((p(p-b)(p-c))/((p-a))*((p-a)(p-b)(p-c))/p))/((p(p-b)(p-c))/((p-a))-((p-a)(p-b)(p-c))/p)`

donde ejecutando las raíces cuadradas nos queda

`(a r_a)/(r_a-r)=a ((p(p-b)(p-c))/((p-a))+(p-b)(p-c))/((p-b)(p-c)(p/((p-a))-((p-a))/p))=a ((p-b)(p-c)(p/((p-a))+1))/((p-b)(p-c)(p/((p-a))-((p-a))/p)`

y eliminando los factores comunes del numerador y el denominador llegamos a

`(a r_a)/(r_a-r)=a((p/((p-a))+1))/((p/((p-a))-((p-a))/p))=a p (p+(p-a))/(p^2-(p-a)^2)=a p (2p-a)/(a(2p-a))=p`

y por simetría con los otros sumandos del primer miembro de la ecuación propuesta

`(a r_a)/(r_a-r)=p\ \ \ \ (b r_b)/(r_b-r)=p\ \ \ \ (c r_c)/(r_c-r)=p`

que nos conduce a

`(a r_a)/(r_a-r)+(b r_b)/(r_b-r)+(c r_c)/(r_c-r)=p+p+p=3p`

como queríamos demostrar.