Problema 412

Demostrar o refutar si en un triángulo equilátero la curva de longitud mínima que corta al mismo en dos polígonos de igual área, es un segmento de línea recta

Vicario, V. (2007): Comunicación personal

Solución de Ricard Peiró:

Consideremos el triángulo equilátero  de lado 1.

Determinemos el mínimo segmento que corta el triángulo equilátero en dos polígonos de igual área:

El área del triángulo equilátero es .

Sea D un punto del lado  y E un punto del lado  tal que el área del triángulo  es la mitad del triángulo.

Sea , .

El área del triángulo  es:

, . Igualando las áreas:

. Simplificando:

.

Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

.

.

Consideremos la función .

El mínimo de la función se alcanza cuando .

La distancia mínima es, .

Calculemos el radio del sector circular de centro A que divide el triángulo en dos partes de igual área.

, . Igualando las áreas:

.

Resolviendo la ecuación en r:

Calculemos la longitud del arco de circunferencia que forma el sector:

.

. Entonces el segmento no es la mínima curva que divide el triángulo en dos partes de igual área.