Problema 415. (Propuesto por F. J. García Capitán y J. B. Romero Márquez).

Dado el triángulo de lados , , construir la longitud d tal que

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva).

Evidentemente para que tal construcción sea posible es necesario que , ya que . Como aplicación del teorema de los cosenos al triángulo ABC, se deduce que el ángulo .

Para la construcción de d observemos además que . Construyamos ahora un triángulo rectángulo de catetos b y c cuya hipotenusa será , con vértices B y C opuestos, respectivamente, a dichos lados. Sobre dicha hipotenusa y haciendo centro en su punto medio construyamos una semicircunferencia con diámetro esta misma magnitud, y desde el vértice B del triángulo como centro describamos un arco de radio a hasta cortar la semicircunferencia. Sea P este punto de corte. El triángulo BPC así obtenido, es rectángulo en P, puesto que es inscrito a una semicircunferencia abarcando un diámetro de la misma. Así pues, la longitud CP viene dada por .

Finalmente, construyamos un cuadrado con el segmento CP como lado del mismo y dividamos una de sus diagonales en cuatro partes iguales (mediante doble bisección o mediante aplicación del teorema de Thales). Claramente, cualquiera de estas partes representa entonces el valor pedido d.