Problema 418.- (Propuesto por J. M. Pedret. Ingeniero Naval. Esplugas de Llobregat, Barcelona).

En un plano cualquiera se dan

1.- un círculo de centro O

2.- un punto fijo H.

En se inscriben triángulos variables ABC, cuyo ortocentro es H

(a) Hallar el lugar geométrico del punto medio de uno de los lados del triángulo

(b) Caracterizar dicho lugar geométrico

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. “El Sur”, Huelva)

(a) y (b) Para determinar el lugar geométrico pedido usaremos el famoso teorema de Brianchon-Poncelet-Feuerbach (de forma compacta lo denominaremos teorema BPF) o teorema de los nueve puntos. Para nuestro propósito lo aplicaremos en su forma reducida:

Teorema: “Dado cualquier triángulo ABC (de circuncentro O), los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el ortocentro H del mismo, pertenecen a una misma circunferencia (de los nueve puntos), cuyo centro es el punto medio del segmento OH y cuyo radio es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo”.

Por otra parte, otro famoso teorema de Euler (teorema de la recta de Euler) afirma la colinealidad del circuncentro, baricentro y ortocentro en cualquier triángulo, precisando además, el hecho de que la distancia entre el circuncentro y el baricentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro.

Supongamos entonces la circunferencia dada de centro O, radio R y un punto H fijo en el plano, de tal forma que corresponda al ortocentro de una serie de triángulos que estén todos ellos inscritos en la circunferencia anterior. Por el teorema de Euler, puesto que el baricentro de cualesquiera de estos triángulos es evidentemente un punto interior a los mismos, se deduce que el ortocentro de todos ellos, no puede estar alejado del centro de la circunferencia donde están inscritos, una distancia mayor o igual a . Además, es fácil ver que por consideraciones de continuidad, dados el circuncentro fijo O y el ortocentro fijo H existen infinitos triángulos ABC que se pueden inscribir en la circunferencia con esta caracterización.

Por el teorema BPF los puntos medios de los lados de estos triángulos, independientemente de que el punto H escogido sea interior, exterior o pertenezca a la circunferencia considerada, describirán una circunferencia de centro el punto medio del segmento OH y radio R/2, o bien los arcos que correspondan a estas mismas circunferencias que sean, obviamente, interiores a la circunferencia dada.