Problema 419

Problema 419.- (Propuesto por F. J. García Capitán, profesor del I.E.S. “Álvarez Cubero”, Priego de Córdoba).

En el triángulo acutángulo ABC el ángulo . Demostrar que una de las bisectrices del ángulo formado por las dos alturas trazadas desde los vértices B y C pasa por el circuncentro del triángulo.

M1046. En el triángulo acutángulo ABC el ángulo A es 60º. Demostrar
que una de las bisectrices del ángulo formado por las dos alturas trazadas desde los
vértices B y C pasa por el circuncentro del triángulo.

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Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. “El Sur”, Huelva)

Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Denotaremos por D el pie de la altura trazada desde el vértice A al lado BC y por E y F los pies de las alturas trazadas desde los vértices B y C, respectivamente, a sus lados opuestos, A´ el pie de la bisectriz interior trazada desde el mismo vértice A, M y N los puntos medios de los lados BC y AC, respectivamente y A´´ el pie de la perpendicular trazada desde el ortocentro H del triángulo a la bisectriz interior que parte de A.

Por ser el triángulo ABC acutángulo sabemos que el circuncentro y el ortocentro son interiores al mismo. Además, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que y puesto que entonces .

Demostremos inicialmente que una de las dos bisectrices del ángulo formado por las dos alturas trazadas desde los vértices B y C, es perpendicular a la bisectriz interior que parte de A. Por consideraciones elementales entre ángulos de un triángulo tenemos que y y entonces . Considerando ahora el triángulo AHA´´ tenemos que

y esto demuestra la perpendicularidad mencionada.

Demostremos ahora que esta recta que pasa por H y es perpendicular a la bisectriz interior pasa también por el circuncentro O del triángulo. Para ello, demostraremos más. Demostraremos que el punto A´´ resulta ser el punto medio del segmento HO del triángulo, con lo que el triángulo AHO es entonces isósceles. Para ver todo esto basta observar que por el teorema del ángulo inscrito y consideraciones elementales entre ángulos

que coincide con el ángulo

Así, pues, el triángulo AHO es isósceles, demostrando más de lo que se pedía.

Nota: En un interesante artículo de D. Francisco Bellot Rosado, editor de la revista digital iberoamericana de matemáticas OIM, titulado “Triángulos especiales” (I,II,III) podemos observar para este tipo de triángulos () que Lemoine en 1900, Déprez, Goormaghtig, Barisien en 1897 y 1914, Victor Thebault en 1930 y Shiiko Iwata e Ioan Tomescu más cercanos en el tiempo, demostraron, entre otros, los siguientes resultados: