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De investigación. Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.


Problema 421.

Sea ABC un triángulo rectángulo en A, c < b < a. Trazamos la recta que pasa por el incentro I, y el circuncentro O, que corta a la prolongación de AC en D y AB en E respectivamente. Probar si es cierto o no:

  • Que AD = a/2 si y sólo si B=60º.
  • Si F=AO ∩ EC, entonces IF ∣∣ AB si y sólo si B=60º.

Romero, J.B. (2007): Comunicación personal.


Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (16 noviembre de 2007)

 

SOLUCIÓN

 

DIBUJAMOS EL ENUNCIADO

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figura 1


Como siempre

Ecuación 1


Consideramos un sistema coordenado en el que A es el origen, AC el eje de abscisas y AC el eje de ordenadas. En estas condiciones tenemos

Ecuación 2

donde r es el radio del círculo inscrito.



LA RECTA OI


Ecuación 3



LOS PUNTOS E, D


El punto E se obtiene para x=0 en la recta OI y el punto D se obtiene para y=0 en la recta OI


Ecuación 4



LA RECTA CE

Ecuación 5


LA RECTA OA


Ecuación 6



EL PUNTO F


El punto F está en la intersección de la recta CE con la recta OA


Ecuación 7


LA RECTA FI


Ecuación 8



ÚLTIMOS DETALLES

Ecuación 9

 

SOLUCIÓN DEL APARTADO (a)

 

Ecuación 10



DIRECTO

Ecuación 11

Imponemos la condición


Ecuación 12


RECÍPROCO


Ecuación 13

 

SOLUCIÓN DEL APARTADO (b)

 

Ecuación 14


ordenamos la ecuación convenientemente


Ecuación 15


DIRECTO


Si IF es paralela a AB es que es paralela al eje de ordenadas y por lo tanto se anula el coeficiente de la y


Ecuación 16


donde simplificando obtenemos


Ecuaciópn 17


RECÍPROCO


Ecuación 18


y simplificando nos queda

Ecuación 19


que es paralela al eje de ordenadas AB.