Problema 421
Siga el triangle rectangle 
,
. Tracem la recta que passa per l’incentre I i el
circumcentre O, que talla la prolongació del catet 
en D i el catet 
en E. Proveu si és
cert o no,
a) 
si i només si 
.
b) Siga F la intersecció de 
i 
, aleshores 
és paral·lel a si i només si .
Solució Ricard Peiró:
El centre de la circumferència circumscrita O a un
triangle rectangle és el punt mig de la hipotenusa.
Siga P la projecció de O sobre el catet .
. 
.
La mitjana referida a la hipotenusa d’un triangle
rectangle és igual a la meitat de la hipotenusa.
.
Siga T el punt de tangència de la circumferència inscrita
i el catet .
, radi de la circumferència inscrita.
a)
Suposem . Siga 
.
Els triangles 
, 
són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
, aleshores, 
(1)
Els triangles , 
són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
, aleshores, 
(2)
Igualant les expressions (1) (2).
. Simplificant:
. Aplicant el teorema de Pitàgores:
. 
, aleshores, .
Suposem que .
Aleshores, aplicant raons trigonomètriques al triangle
rectangle :
, 
. Siga , 
.
Els triangles , són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
(3)
Els triangles , són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
(4)
Resolem el sistema format per les equacions (3) (4)
.
Per tant la proposició a) és certa.
b)
Suposem que . 
. , .
Siga H la projecció de F sobre el catet .
Per l’apartat a) 
.
Siga 
, 
.
Els triangles 
, són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
(5)
Els triangles 
, 
són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
(6)
Resolem el sistema format per les equacions (5) (6)
, 
Aleshores, 
, aleshores, és paral·lel a .
Siga F la intersecció de i . Siga H la projecció de F sobre el catet .
Suposem que és paral·lel a .
Aleshores, 
.
Els triangles , són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
.
Els triangles 
, 
són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
. Aleshores, 
.
.
Els triangles , són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
.
, simplificant:
.
.
Aplicant el teorema de Pitàgores:
.
.
.
.
Aleshores, .
Per tant la proposició b) és certa.