Problema 422.- ABC es un triángulo cuyas tres bisectrices se cortan en P. Este punto se proyecta, respectivamente, en H y K en los segmentos AB y BC. ¿Cómo es el ángulo formado por las rectas AP y HK?

Su turno

Berrondo-Agrell, M. (2006) 101 enigmas de geometría, juegos divertidos para potenciar tu mente. Ediciones Ceac Barcelona.(p.64)

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. “El Sur”, Huelva)

Es bien conocido de la geometría elemental que la distancia del vértice A a los puntos de tangencia H y K de la circunferencia inscrita al triángulo ABC con los lados AB y AC del mismo, es idéntica. Por tanto, el triángulo AHK es isósceles, con los lados AH y AK de la misma longitud, y los ángulos opuestos a estos lados también iguales entre sí. Tenemos, pues, que

Entonces, puesto que la bisectriz interior de divide a éste en dos ángulos iguales, en el triángulo PHA tenemos que . Sea Q el punto de corte de las rectas AP y HK. Los triángulos PHQ y PKQ son congruentes (por tener dos ángulos iguales y un mismo lado) y además rectángulos con . Por tanto, el ángulo que forman las rectas dadas es un ángulo recto. Observemos también que el cuadrilátero AHPK es cíclico (puesto que contiene dos ángulos opuestos que son rectos) y AP es uno de los diámetros de la circunferencia en la que se puede inscribir.