Problema 423

Siga el triangle rectangle , siga altura sobre la hipotenusa del triangle. Proveu que

.

Solució Ricard Peiró:

Siga la mitjana sobre la hipotenusa.

La mitjana sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle mesura la meitat de la hipotenusa, .

, la igualtat s’assoleix quan el triangle rectangle és isòsceles.

Aleshores, .

a)

.

Però .

La desigualtat és estricta, per tant,

b)

Considerem la funció: .

És una paràbola còncava, la funció és definida negativa i creixent ,

Aleshores, La funció és creixent en . Per tant, .

Per tant, .