Abordamos la resolución del enunciado presentando, en primer lugar, dos proposiciones previas que necesitaremos para completar la demostración de los resultados pedidos.

A continuación desarrollamos la demostración del teorema distinguiendo tres casos; que el punto P sea interior al triángulo equilátero ABC, que el punto P esté sobre el círculo circunscrito o que el punto P sea exterior al triángulo equilátero ABC.

Acabamos con un apéndice donde se desarrollan las indicaciones de József Sándor para otra demostración del teorema de Pompeïu, construcción y determinación del área del triángulo de Pompeïu. La construcción, que indica József Sándor, sólo es válida cuando P es interior al triángulo equilátero ABC.

figura 1

PROPOSICIÓN 1

“Un trapecio isósceles es inscriptible”

Por definición de trapecio isósceles, JK=IL. Por I  una paralela a JK  que corta a KL  en H  entonces el triángulo LIH  es isósceles ya que IL=JK=IH; entonces se cumple la igualdad de los ángulos de la base del triángulo

.

Pero si trazamos una perpendicular a las bases, que las corta respectivamente en M  y  N, formamos el cuadrilátero IMNL  y como los ángulos de un cuadrilátero suman 360°

y si aplicamos la igualdad anterior

por lo tanto los ángulos opuestos son suplementarios y por tanto

el trapecio isósceles es inscriptible.

PROPOSICIÓN 2

“Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales”

Observando los arcos en el círculo circunscrito al trapecio tenemos

y como la igualdad de arcos conlleva la igualdad de cuerdas

en consecuencia

las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

DIBUJO DEL ENUNCIADO

figura 2

Dibujamos un triángulo equilátero ABC  y un punto cualquiera P  en su interior.

figura 3

Trazamos por P  rectas paralelas a los lados del triángulo.

La paralela a AB  corta a BC  en A’.

La paralela a BC  corta a CA  en B’.

La paralela a CA  corta a AB  en C’.

La paralela a AB  corta a CA  en B”.

La paralela a BC  corta a AB  en C”.

La paralela a CA  corta a BC  en A”.

SI P ES UN PUNTO INTERIOR AL TRIÁNGULO EQUILÁTERO ABC

figura 4

Observamos que el polígono PA’CB’  es un trapecio isósceles, de donde aplicando la proposición 2

figura 5

El otro polígono PB’AC’  también es isósceles y por tanto, de la igualdad de diagonales

figura 6

Análogo a los dos casos interiores, la igualdad de diagonales en PC’BA’  da

figura 7

Reunimos los tres resultados anteriores y obtenemos el triángulo A’B’C’,  triángulo de Pompeïu inscrito en el triángulo equilátero ABC  ya que

La condición equilátera de ABC  asegura que los tres trapecios que aparecen en la construcción son isósceles.

figura 8

Podríamos hacer el mismo razonamiento sobre los trapecios isósceles PC”BA”, PA”CB”, PB”AC” y A”B”C”  sería un segundo triángulo de Pompeïu inscrito en el triángulo equilátero ABC  ya que

SI P ESTÁ SOBRE EL CÍRCULO CIRCUNSCRITO DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO ABC

Demostraremos que en este caso, el triángulo de Pompeïu es degenerado (B, C’, A están alineados). Para ello consideraremos por separado BC’ y C’A.

figura 9

Realizamos la misma construcción trazando por el punto P, sobre el círculo circunscrito, paralelas a los lados del triángulo equilátero. Observamos la parte inferior de la figura 9.

Llamamos θ al ángulo del arco capaz de cuerda PA. 

Por construcción, PC’BA’ es un trapecio isósceles y por lo tanto

    [1]

figura 10

Lo que haremos ahora es hallar el ángulo ∠AC’B’ usando la parte superior de la figura 10.

Por tener los lados paralelos a ABC, los triángulos AC”B’ y PC’C”  son equiláteros

,

vemos que los triángulos PC”A  y C’C”B’  tienen dos lados y el ángulo que comprenden iguales por lo tanto los triángulos son congruentes y también tienen su tercer lado igual

lo que nos lleva a que el cuadrilátero PC’B’A es isósceles y por tanto es inscriptible.

La cuerda AC, lado del triángulo equilátero, determina un arco capaz de 60° por lo tanto,

en el triángulo PCA

y en el triángulo PCB’

,

entonces en el triángulo PB’A

y por tener la misma cuerda en el círculo circunscrito a PC’B’A

    [2]

figura 11

combinando [1] y [2]

y como AB  es una recta fija, ∠A’C’B  y ∠AC’B’ son ángulos opuestos por el vértice y además iguales y por lo tanto sus lados respectivos BC’ y C’A están en prolongación de ello deducimos que

luego

el triángulo de Pompeïu, cuando P está sobre el círculo circunscrito, es degenerado.

SI P ES UN PUNTO EXTERIOR AL TRIÁNGULO EQUILÁTERO ABC

Por el punto P trazamos paralelas a los lados del triángulo equilátero ABC y seguimos formando trapecios; pero en algunas posiciones, las diagonales se transforman en lados; deberemos demostrar que el triángulo sigue siendo isósceles cosa que hemos hecho en el caso anterior y repetimos aquí.

figura 12

El trapecio, en que los segmentos que nos interesan ocupan los lados no paralelos, es el PC’B’A  (ver figura 12).

Por tener los lados paralelos a ABC, los triángulos AC”B’  y PC’C”  son equiláteros

,

vemos que los triángulos PC”A  y C’C”B’  tienen dos lados y el ángulo que comprenden iguale;s por lo tanto, los triángulos son congruentes y también tienen su tercer lado igual

que es lo queríamos demostrar y por lo tanto,

cuando P es exterior al triángulo equilátero ABC,  sean PA, PB, PC diagonales o lados no paralelos de los trapecios formados, sigue persistiendo la construcción dada como solución.

En ABC, triángulo equilátero de lado l

la altura h  es

y su radio circunscrito R

PROPOSICIÓN A

Sea  M  un punto de coordenadas baricéntricas (r, s, t),  en el plano de un triángulo cualquiera ABC, 

,

entonces, se cumplirá

;

ya que

.

PROPOSICIÓN B - RELACIÓN DE LEIBNITZ PARA EL TRIÁNGULO

Y para cualquier punto P  del plano del triángulo se cumplirá

y sumando las tres ecuaciones, obtenemos (haciendo uso de la proposición A)

que es la relación de Leibnitz para el triángulo.

PROPOSICIÓN C - EXPRESIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS DE DISTANCIAS ∑PA²

Particularizando la relación de Leibnitz (proposición B)

y quitando denominadores

nos queda

.    [a]

En el triángulo equilátero

Y escribiendo PO=d,  la [a] queda como

.    [b]

PROPOSICIÓN D - EFECTO DE UNA INVERSIÓN SOBRE LAS LONGITUDES

A pesar de que una inversión (de centro Ω   y razón k²) transforme rectas en círculos, si tenemos dos puntos M y N y sus inversos M’ y N’,

,

siempre podremos comparar las longitudes de MN y M’N’.

figura 13

Si Ω es el centro de inversión, los triángulos ΩMN y ΩM’N’ son semejantes por el tipo de preservación de ángulos en la inversión. Luego

    [c]

TEOREMA EXTENDIDO DE PTOLOMEO

“Si A, B, P, C son cuatro puntos de un mismo plano, entonces

Sólo en el caso de que A, B, P, C (y en ese orden) estén sobre un círculo o una recta se da la igualdad que recibe el nombre de teorema de Ptolomeo.”

figura 14

Invertimos B, P, C  respecto A y obtenemos B’, P’, C’.  Entonces

que es una igualdad siempre que C’  esté sobre el interior del segmento B’C’.

En una inversión de centro A y potencia k² un segmento cualquiera MN  transforma su longitud en M’N’  tal que ([c])

y entonces

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE POMPEÏU

Del teorema extendido de Ptolomeo

como el triángulo ABC es equilátero BC=AB=AC=l 

y realizando el mismo ejercicio de forma cíclica con cada punto

Que nos indica que

PA, PB, PC son los lados de un triángulo

Este triángulo es degenerado en el caso que los cuatro puntos se hallen sobre un círculo (o recta que no es nuestro caso) ya que tendremos tres posibles casos

.

CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE POMPEÏU

figura 15

Cuando P  es interior al triángulo, el triángulo de Pompeïu puede construirse fácilmente. Rotamos el triángulo APB  en torno al vértice A  un ángulo de 60° y obtenemos el triángulo AB’C,  Ya que PA=B’A=PB'  y PB=B'C,  el triángulo de Pompeïu es PB'C.  Esta construcción nos facilita el cálculo del área.

EL ÁREA DEL TRIÁNGULO DE POMPEÏU

figura 16

Si seguimos rotando, ahora el triángulo BPC, 60°  con centro en B y el triángulo CPA, 60° con centro en C; obtenemos un exágono(ver figura 16), AB'CA'BC', donde los triángulos de Pompeïu PBA', PAC', PCB' tienen la misma área S.  Y como

el área del hexágono que es

vale

;

pero también vale

donde APB’, BPC’, CPA’  son triángulos equiláteros y PCB’, PAC’, PBA’  son triángulos de Pompeïu con

por lo tanto igualando las dos expresiones del área del hexágono

que usando la ecuación [b], queda

    [d]