Problema 424. El famoso teorema de Pompeiu, descubierto por el matemático rumano Dimitrie Pompeiu, dice así:

Teorema (Pompeiu): “Dado un triángulo equilátero ABC y un punto P en el plano del triángulo, las longitudes PA, PB, PC conforman los lados de un triángulo. Si P está sobre la circunferencia que circunscribe al triángulo, entonces PA, PB, PC conforman los lados de un triángulo degenerado”.

A partir de aquí, al triángulo de lados PA, PB, PC lo denominaremos triángulo de Pompeiu. Este triángulo se abordó ya en el problema 77 de esta misma revista y aparece un detallado artículo sobre el mismo en la revista digital Forum Geometricorum 2005, por József Sándor.

Demostrar de forma gráfica el teorema de Pompeiu.

Establecer que si P es interior al triángulo equilátero ABC, el triángulo de Pompeiu siempre puede inscribirse en el triángulo equilátero ABC.

Establecer que si P se encuentra en la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, el triángulo es degenerado.

Establecer que si P es exterior al triángulo, el mismo procedimiento permite la construcción del triángulo de Pompeiu con un vértice en cada una de las rectas AB, BC, CA sin tener que recurrir a procedimientos generales para resolver este tipo de problemas.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

            Para demostrar de forma gráfica el teorema de Pompeiu, bastará con construir de forma explícita dicho triángulo. Sea el punto P perteneciente al interior del triángulo equilátero ABC de partida. Por rotación del triángulo ABP con centro en el vértice A y amplitud de 60º, obtenemos un triángulo AB´C que es congruente con el triángulo ABC. Por tanto,y. Así pues, el triángulo de Pompeiu queda explícitamente construido y resulta ser el triángulo PCB´.

            El triángulo de Pompeiu resulta ser degenerado si el punto P pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero ABC, ya que si, por ejemplo, dicho punto P está situado en el interior del menor arco relativo a BC, entonces, al aplicar el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero inscrito ABPC y teniendo en cuenta que en nuestro caso , se tiene que: y el triángulo será degenerado.

            Para otras posiciones del punto P, aplicando la desigualdad de Ptolomeo para cuadriláteros, obtenemos ,  y , con lo que AP, BP y CP son los lados de un triángulo.

            Por otra parte, los ángulos del triángulo de Pompeiu resultan ser los siguientes: ,  y . Basta observar que

             directamente

              debido a la construcción realizada

           

            Supongamos ahora que el punto P elegido no es el centro del triángulo equilátero dado (en este caso la inscripción del triángulo de Pompeiu en el triángulo equilátero ABC es trivial). Entonces, trivialmente, al menos uno de los ángulos ,  y  es mayor de 120º y otro menor que 120º. Por tanto, y de forma equivalente, al menos uno de los ángulos , , .es mayor de 60º y otro menor de 60º.

            Aplicaremos ahora un razonamiento que establece la inscripción del triángulo de Pompeiu, tanto si P es interior como si es exterior al triángulo equilátero ABC de partida. Mediante un simple razonamiento relativo a continuidad (continuidad de funciones de variable real), podemos deducir que el triángulo de Pompeiu construido a partir del punto interior P se puede inscribir en el triángulo de partida. Para ello, basta con considerar el triángulo de Pompeiu con el ángulo mayor de 60º con vértice en el punto  teniendo un lado contiguo con el lado BC (este lado es <BC) y otro exterior al triángulo, que supondremos sin pérdida de generalidad que es el vértice B´. Mediante un proceso continuo trasladamos este triángulo APB´ en la dirección del lado BC hasta que el vértice B´ anterior, exterior al triángulo equilátero, esté precisamente sobre el lado AB. Es claro ahora que manteniendo el segmento PB´ con sus extremos moviéndose sobre los lados AB y BC, en ciertas posiciones, el tercer extremo del triángulo de Pompeiu es exterior al triángulo equilátero y en otros es interior, de lo que se deduce que en alguna posición intermedia el triángulo de Pompeiu queda inscrito en el triángulo equilátero de partida. De forma análoga y con las mismas consideraciones sobre ángulos expuestas anteriormente, el método es aplicable si el punto P es exterior al triángulo equilátero de partida. Bastaría con un razonamiento similar aplicando la continuidad, fijando el ángulo menor de 60º del triángulo de Pompeiu correspondiente y un lado del mismo sobre, sin perder generalidad, el lado BC. Después hacemos la traslación anteriormente comentada y el giro adecuado manteniendo constante la distancia entre vértices para llegar a la misma conclusión.