De investigación

Propuesto por Vicente Vicario García, profesor del I.E.S. El SUR, Huelva

Problema 425

Demostrar que es posible construir con regla y compás un triángulo ABC conocidos el radio de su circunferencia circunscrita R, el radio de su circunferencia inscrita r y una altura del mismo. Establecer también las condiciones para que sea posible tal construcción y proporcionar alguna.

Resuelto por JULIÁN SANTAMARÍA TOBAR profesor de Dibujo del IES La Serna de Fenlabrada

Considerando fija la recta BC donde está el lado a, el lugar geométrico de los vértices A (LG de A) es una paralela a la recta BC a la distancia de su altura Ha. La distancia que hay entre el incentro y la recta BC es el radio r de la circunferencia inscrita por lo tanto el LG de los posibles incentros corresponde a una recta paralela a una distancia r (LG de In).

Sea Va punto de corte de la bisectriz del ángulo A con la recta BC, y Ea el exincentro del mismo ángulo A, se cumple que A, Va, In y Ea forman una cuaterna armónica. In y Ea son centros de circunferencias (la inscrita y la exinscrita), y, A y Va los centros de homotecia porque por estos puntos pasan rectas tangentes (los lados) a las dos circunferencias. Si por estos cuatro puntos se hacen pasar rectas paralelas, forman un haz armónico y al cortar con otra secante al haz lo hará en una serie de cuatro puntos armónicos. Por lo tanto el LG de los posibles exincentros Ea, será una recta que forme un haz armónico con las tres dibujadas.

LG de M es la recta equidistante entre (LG de In) y (LG de Ea) y se encontrará el punto medio M entre ambos. El punto medio M entre los centros In y Ea es el punto de corte entre la bisectriz del ángulo A y la mediatriz del lado a. También es el punto de tangencia de la circunferencia circunscrita con (LG de M) por lo tanto el lugar geométrico de los circuncentros (LG de O) es otra paralela a (LG de M) a una distancian de R.

Fijando el circuncentro O, al hacer la circunferencia circunscrita se obtiene el triángulo.

Para ayudar en la explicación se ha hallado el punto M y a partir de este In, Va y Ea.

Establecer las condiciones para que sea posible tal construcción

Las condiciones de los datos tienen que ver con la separación D del centro de la circunferencia inscrita In y la circunscrita O que queda definida en la formula de Euler: D² = R (R-2r).(Problema 354)

Suponiendo fijo el radio de la circunscrita R, el radio de la inscrita r puede tomar valores entre 0 y R/2. En el dibujo el segmento r, se considera fijo el punto de la derecha, el “Y”; el de la izquierda se puede desplazar entre X e Y (El valor entre X e Y es R/2).

La oscilación del valor de Ha es la siguiente: R+r-D £ Ha £ R+r+D. En el dibujo el extremo izquierdo del segmento Ha coincide con la vertical del extremo izquierdo del segmento r. La variación del segmento Ha depende del extremo derecho que se puede desplazar desde P hasta Q. En estos dos puntos P y Q, cuando Ha = R+r-D y Ha = R+r+D resulta un triángulo isósceles.

Si r tomara el valor máximo, R/2, la distancia D = 0 por lo tanto Ha = R+r y corresponde a un triángulo equilátero.