Per un punt qualsevol O d’un triangle , s’agafen paral•leles , , als costats (veure figura)

Problema 426

Per un punt qualsevol O d’un triangle , s’agafen paral·leles , , als costats (veure figura). Demostreu que .

(Journal de Mathématiques élémentaires de M. Viubert, 15 de mars 1900, page 95, nº 4753.)

Frère Gabriel Marie, 1820-1891. 5. ed (1912). Exercices de géométrie, comprenant l'esposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues par F. G.-M.: 3 p. L., [iii]-xxiv, 1302 p. diagrs. 22 cm.Tours,A. Mame et fils; [etc., etc.](p. 554)

Solució Ricard Peiró i Estruch:

Siguen les altures del triangle , referides als costats , respectivament.

Considerem les paral·leles , , als costats .

Siga r la distància de O al costat , s la distància de O al costat i t la distància de O al costat .

BA’OC” és un paral·lelogram, .

Anàlogament , .

Els triangles , són semblants, aplicant el teorema de Tales:

.

Anàlogament, , .

Els triangles , tenen la mateixa base, les àrees són proporcionals a les altures, aleshores:

.

Anàlogament, ,

.