Problema 426

Teorema 369 Cuestión 1242. Por un punto cualquiera O de un triángulo, se toman paralelas OA’, etc, a los lados el triángulo; se tiene que .

(Journal de Mathématiques élémentaires de M. Viubert, 15 de mars 1900, page 95, nº 4753.)

Frère Gabriel Marie, 1820-1891. 5. ed (1912). Exercices de géométrie, comprenant l'esposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues par F. G.-M.:  3 p. L., [iii]-xxiv, 1302 p. diagrs. 22 cm.Tours,A. Mame et fils; [etc., etc.](p. 554)

Solución Ricard Peiró i Estruch:

Sean las alturas del triángulo , referidas a los lados , respectivamente.

Consideremos las paralelas , , a los lados .

Sea r la distancia de O al lado , s la distancia de O al lado y t la distancia de O al lado .

BA’OC” es un paralelogramo, .

Análogamente , .

Los triángulos , son semejantes, aplicando el teorema de Tales:

.

Análogamente, , .

Los triángulos , tienen la misma base, las áreas son proporcionales a las alturas, entonces:

.

Análogamente, ,

.