Problema 426. Por un punto O cualquiera del interior de un triángulo ABC, se trazan paralelas OA´, OB´, OC´ a los lados del triángulo, cortándolos en , respectivamente. Probar que se tiene

(Journal de Mathematiques elementaires de M. Vuibert, 15 mars 1900, pages 95, nº4753).

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Sea A´´ el punto de corte de la recta AO con el lado BC y análogamente B´´ y C´´. Aplicando el teorema de Thales a las rectas AA´´ y AC con la paralela OB´ tenemos que

y análogamente y

Entonces tenemos que

pero esta última suma es la unidad, por el teorema de Euler relativo a cevianas concurrentes en un triángulo. Para demostrarlo este teorema es fácil observar que, de nuevo, aplicando el teorema de Thales, y el concepto de área tenemos que

, [1]

donde [XYZ] es el área del triángulo XYZ, es la altura del vértice A al lado opuesto y es la altura del punto O al lado a, y análogamente para las demás alturas. Finalmente, sumando las tres expresiones de [1], tenemos que