EXTRA(5 diciembre 2007)

Problema 427.- (En memoria de D. Jordi Dou, amante e impulsor de la cultura y recientemente fallecido).

Sea ABC un triángulo. Sobre cada uno de sus lados y exteriormente, construimos las semicircunferencias que tienen a sus lados como diámetros respectivos. Dividimos cada una de estas semicircunferencias en n arcos iguales. Determinar el límite del cociente de la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos cuyos extremos son cada vértice del triángulo y cada uno de los puntos de división del arco opuesto entre el número n de arcos.

(Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. “EL SUR”, Huelva).

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca.

Supongamos elegidos unos ejes de coordenadas con el lado BC como abscisas y su punto medio A’ como origen. Las coordenadas de los vértices son C(-a/2, 0), B(a/2, 0) y A(p,q). Los puntos que dividen la semicircunferencia de diámetro CB en n partes iguales son M_k=(a/2·cos , a/2·sen), desde k=1 hasta k=n-1. En el caso de dividir en 3 partes iguales, los segmentos a considerar son AM y AN.

El cuadrado del módulo del vector AM_k es

|A M_k |²= l_k = (a/2·cos -p)² + (a/2·sen-q)² =

= +p² + q² - a·(p·cos + q·sen )

Se suman todos desde k=1 hasta k=n-1, se divide por n y se toma el límite:

L_a = -a·p -aq.

yson la parte real y la parte imaginaria respectivamente de ==.

L_a = +p² + q²-aq +p² + q²-aq· +p² + q²-aq· sin más que tener en cuenta que la tangente y el arco son infinitésimos equivalentes.

Por otra parte p² + q² es el cuadrado de la mediana del lado BC. Es fácil calcular su longitud: , por tanto tenemos L_a =-aq·. La altura desde A es -q, luego L_a =+4[ABC], donde [ABC] es el área del triángulo. Haciendo lo mismo con los segmentos con origen en los otros dos vértices y sumando todo el límite pedido es L= a² + b² + c²+12[ABC].