PROBLEMA 434

Sea un triángulo rectángulo en A, de hipotenusa a, catetos b y c, semiperímetro p y área S.

1.      Calcular los catetos en función de la hipotenusa y el área.

2.      Demostrar geométricamente que si los ángulos agudos son de 15º y 75º, el producto de los catetos es equivalente al cuadrado de la mitad de la hipotenusa.

3.      Hallar los ángulos sabiendo que:

4.      Sea M el punto medio de la altura por A. Se traza por M una recta DE cuyo punto medio es M, y está limitada por los catetos. Se pide el valor de los ángulos en E y D en función de los del triángulo.

5.      Trazada la perpendicular por A a esta recta DE, determinar la distancia OP siendo P el punto de intersección de dicha perpendicular con la hipotenusa y O el punto medio de la hipotenusa.

Pedret, J. M. (2007): Comunicación personal.

Solución (1)      Pide los catetos en función de la hipotenusa y el área

En el triángulo rectángulo se cumple el Teorema De Pitágoras: … (*)

Además se sabe que el área:

CÁLCULO DEL CATETO (b)

Sumando miembro a miembro (m. a. m.) “2bc” en la ecuación (*) se tiene:   Entonces    ; pero  bc = 2S; Entonces

 ……. (**)

Ahora en esta expresión reemplacemos el valor de “c” y tendremos:  operando se obtiene:  y

Resolviendo la ecuación se llega a los valores de “b”: 

­­como podemos observar “b” toma 2 valores y ambos son positivos, por lo tanto se acepta ambos valores.

CÁLCULO DEL CATETO (c)

Con los mismos procedimientos realizados en el cálculo de “b” se obtiene lo siguiente:

   Éste también toma dos valores y ambos son positivos por lo tanto se aceptan los dos valores.

A simple vista  se puede concluir que “b = c”; pero de la ecuación (**) por simple inspección podemos concluir que “b” debe ser diferente de “c” o sea si:

   Entonces      y si

   Entonces  

Estos serían las respuestas.

Solución (2)

Se traza la altura AH (relativo a la hipotenusa), luego se traza la mediana AM (relativo a la hipotenusa), se sabe que en un triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de dicha hipotenusa. O sea (BC = MC = AM = a/2); entonces si BC mide “a”; por lo tanto la mediana medirá  “a/2”; además el triángulo AMC es isósceles (AM = MC, m< MAC = m< MCA = 15º)  entonces la medida del ángulo AMB será 30º.

Luego en el triángulo rectángulo notable AHM  (30º, 60º) se cumple que el cateto opuesto a 30º mide la mitad de la hipotenusa o sea “a/4”. Con esto se está demostrando que “la altura mide la cuarta parte de la hipotenusa”.

Finalmente sabemos por relaciones métricas en un triángulo rectángulo se cumple:

EL PRODUCTO DE LOS CATETOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LA ALTURA (Relativo A La Hipotenusa) Y LA HIPOTENUSA.

Entonces del problema se tiene que:

Por la tanto:   …… LQQD.

Solución 3 

Sean  los ángulos.

Se sabe que: 2P = a+ b+ c   y por dato se sabe que:  reemplazando 2P se tiene ; entonces  cancelando 1     m.a. m. se tiene: …… (1)

Pero es claro que  reemplazando estos valores en (1) se tiene:  elevando al cuadrado   m.a m.   Se tiene

 Aplicando identidad pitagórica se tiene:   y por arcos dobles se tiene:

 Y de ahí se tiene que: 

Por lo tanto el ángulo  ya que la suma de estos ángulos debe ser 90º

  Y   ….   RPTAS.

Solución 4

De acuerdo a los datos se tiene la siguiente gráfica y sea X e Y los ángulos que se pide calcular  en función de los ángulos del triángulo.

Se une los puntos  H con A,  C con H; así obteniendo el cuadrilátero ADHE.

Luego se observa que el triángulo DMA  es congruente HME  (DM = ME; AM=MH; m< AMD = m< EMH); Entonces m< ADE = m< DEH = X  y m< DAH=m< AHE= con esto se demuestra que AB//EH

Además el triángulo DMH es congruente con AME (DM = ME; AM = MH;

m< AED = m< EDH = Y); Entonces m< EAH =m< AHD = .

Con todo esto se esta demostrando que el cuadrilátero ADHE tiene los ángulos rectos; entonces sus diagonales son iguales.

Y como estos diagonales se cortan en sus puntos medios se tiene que:

X =   y   Y = ……. RPTAS.

Con estos resultados también se ha demostrado  que el cuadrilátero es un CUADRADO. Ya que X =   por lo tanto en el triángulo DMA se cumple que M es un ángulo recto (90º). Es por eso que el cuadrilátero ADHE es un cuadrado.

Solución 5

Pide PO =  X ; pero sabemos que P y M son el mismo punto, por el problema anterior.(EM = MD  o  EP = PD). Y también AM = MO  ó  AP = PO = X

Además AO es perpendicular a BC,  O (recto).

O sea que AO es una mediana y altura; dicha mediana es la mitad de la hipotenusa.

Entonces  2X = a/2  de donde se tiene que: X = a/4.....  RESPUESTA.