Problema 436.- (Propuesto por J. B. Romero Márquez, profesor
colaborador de
Sean ABC
y A´B´C´
dos triángulos tales que 
y 
y de lados a, b,
c y a´, b´, c´ respectivamente. Demostrar que
. ¿Cuándo se cumple la igualdad?
Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S.
El SUR, Huelva)
Utilizaremos
el teorema de los cosenos aplicado a cada triángulo ABC y A´B´C´ imponiendo las condiciones
de que y , para obtener
[1]
[2]
Utilizando la doble identidad clásica siguiente
tenemos entonces que
[3]
[4]
Sumando [3] y
[4] llegamos a 
. [5]
Finalmente, utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, entonces
[6]
La igualdad se da entonces cuando los triángulos ABC y A´B´C´ son rectángulos en A y en A´ (debido a [3] y [4]) e isósceles (debido a [6]) ya que entonces debemos tener
y al ser
el triángulo ABC rectángulo con
hipotenusa a (ya que es el mayor ángulo del
triángulo) tenemos aplicando el teorema de Pitágoras que
y
el triángulo es isósceles.