Problema 437.- Sea dado un cuadrilátero convexo ABCD en el plano. Demostrar o refutar la existencia de un punto P en su interior de manera que las áreas de cada uno de los triángulos APB, BPC, CPD, DPA sean todas iguales entre sí.

Vicario, V. (2007):Comunicación personal.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Utilizaremos la notación usual en la geometría del cuadrilátero. Demostraremos, en contra de la intuición, y en general, que este punto P cumpliendo estas exigencias, no existe. Demostraremos que solamente existe dicho punto sólo en unos cuadriláteros especiales que caracterizaremos a continuación.

Vamos a demostrar que la condición necesaria y suficiente para que exista el punto P pedido es que una de las diagonales del cuadrilátero ABCD divida al mismo en dos triángulos de áreas iguales.

Obviamente, el hecho de que la condición anterior es suficiente es un resultado inmediato. Demostraremos ahora que la condición es necesaria.

Supongamos que exista un punto P cumpliendo las condiciones y que no pertenezca a la diagonal BD del cuadrilátero. Sea H el punto de corte de la diagonal AC con la recta PD. Puesto que los triángulos APD y CPD tienen áreas iguales, y como la base PD es común en ambos, sus alturas AG y CF respecto a su base serán iguales. Entonces los triángulos AGH y CFH son congruentes y el punto H debe ser el punto medio de la diagonal AC.

Consideremos ahora los triángulos BCP y BAP de áreas iguales y base común BP. Entonces sus alturas respecto a esta base, serán iguales . Sea L el punto de corte de la diagonal AC con la recta BP. De nuevo, de la congruencia de los triángulos AKL y CJL se deduce que el punto L tiene que ser el punto medio de la diagonal AC.

Entonces, hemos demostrado que el punto medio del segmento AC debe estar a la vez en las rectas DP y BP, que son distintas, por hipótesis. Por tanto, el punto P debe ser necesariamente el punto medio de la diagonal AC y por la caracterización de P los triángulos ABC y ACD , tienen áreas iguales, terminando así la demostración.

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