Problema 438

Demostreu que si l’altura i la mitjana des del mateix vèrtex d’un triangle no isòsceles són interior al triangle i formen angles iguals amb els costats més propers aleshores és un triangle rectangle.

Solució Ricard Peiró:

Si l’altura d’un triangle està dins del triangle els altres angles distints del que forma l’altura són aguts.

Siga el triangle , siga altura del triangle tal que H pertany al costat , siga la mitjana del triangle.

. .

Per hipòtesi, .

.

.

.

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

.

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

.

Dividint ambdues expressions:

, .

.

Aleshores , o bé, .

Aleshores, , o bé, ,

Com que el triangle no és isòsceles, , per tant, . Per tant el triangle és rectangle.