Problema 440

Siga G el baricentre d’un triangle . Siguen  les distàncies de G als costats a, b i c respectivament. Siga r el radi de la circumferència inscrita. Proveu que:

. Quan es dóna la igualtat?.

Solució Ricard Peiró:

Siga  la mitjana del triangle .

Siga  altura del triangle .

Siga .

Els triangles  són semblants i la raó és .

Aleshores, .

.

.

. Anàlogament, , .

.

.

Notem que si , Aplicant la desigualtat entre la mitjana aritmètica i geomètrica, tenim que, , la igualtat s’assoleix quan .

Aleshores:

.

La igualtat s’assoleix quan , és a dir, quan el triangle és equilàter.