Problema 440

Sea G el baricentro de un triángulo . Siguen  las distancias de G a los lados a, b y c respectivamente. Sea r el radio de la circunferencia inscrita. Probar que:

. ¿Cuándo se alcanza la igualdad?.

Solución Ricard Peiró:

Sea  la mediana del triángulo .

Sea  altura del triángulo .

Sea .

Los triángulos  son semejantes y la razón es .

Entonces, .

.

.

. Análogamente, , .

.

.

Notemos que si , Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y geométrica, tenemos que, , la igualdad se alcanza cuando .

Entonces:

.

La igualdad s’e alcanza cuando , es decir, cuando el triángulo es equilátero.