Problema 440

Sea ABC un triángulo y G su baricentro. Denotamos por , ,  las distancias desde G a los lados a, b, c del triángulo, respectivamente. Demostrar que , donde r es el radio de la circunferencia inscrita al triángulo, y caracterizar cuándo se da la igualdad.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

            Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Necesitamos un lema que demostramos a continuación:

Lema: “Para todo se cumple la desigualdad  ”.

Demostración: Existen muchas demostraciones de este lema. Nosotros lo demostraremos teniendo en cuenta la identidad siguiente:

con lo que resulta inmediata la desigualdad del lema. Geométricamente observamos que es equivalente a la desigualdad entre las longitudes de la hipotenusa y cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo. La igualdad se da si y sólo si . ■

            Por otra parte, es inmediato observar que por aplicación del teorema de Thales a las rectas que conforman una altura y una mediana relativa a un vértice del triángulo y al segmento paralelo a la altura trazado desde el baricentro hasta cortar al lado opuesto al vértice, se tiene que , , , donde es la altura trazada desde el vértice A, etc.

            De conocidas expresiones equivalentes para el área de un triángulo tenemos

                                  

y expresiones análogas para  y . Además como en cualquier triángulo se cumplen las desigualdades , , , etc.

            Entonces, aplicando el lema anterior, podemos escribir la desigualdad

           

dándose la igualdad si y sólo si , y el triángulo ABC es equilátero.