Problema 442

Siga el triangle escalè de costats a, b, c.

Demostreu que on S és l’àrea del triangle.

Solució de Ricard Peiró:

Pel teorema d’Euler la distància entre l’incentre i el circumcentre és:

.

Com a conseqüència , la igualtat s’assoleix només quan el triangle és equilàter.

, . Aleshores:

, (1)

Elevant al quadrat l’expressió inicial:

. Substituint les expressions (1):

simplificant:

. La qual cosa és certa pel teorema d’Euler i per la hipòtesi que el triangle és escalè.