Problema 442

Sea el triángulo escaleno de lados a, b, c.

Demostrar que donde S es el área del triángulo.

Solución de Ricard Peiró:

Por el teorema de Euler la distancia entre el incentro y el circuncentro es:

.

Como consecuencia , la igualdad se alcanza sólo cuando el triángulo es equilátero.

, . Entonces:

, (1)

Elevando al cuadrado la expresión inicial:

. Substituyendo las expresiones (1):

simplificando:

. Lo cual es cierto por el teorema de Euler y por la hipótesis que el triángulo es escaleno.