De investigación

Propuesto por Alejandro Cipriano Coronel, estudiante universitario de ingeniería de la UNASAM (UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO), Huaraz-Ancash-PERÚ.

Problema 442.- Se tiene un triángulo escaleno de lados: a, b, c. y se pide demostrar donde “S” es el área del triángulo.

Cipriano, A. (2008): Comunicación personal.

Solución

Para un triángulo cualquiera se tiene S = pr =, donde r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita del triángulo. De ahí abc(a+b+c) = 8p²Rr y la desigualdad a demostrar es pr < o bien, después de elevar al cuadrado y simplificar, 2r² < Rr, 2r < R, y esto se verifica siempre en todo triángulo, pues según el teorema de Euler la distancia d entre el circuncentro y el incentro se expresa como d²=R(R-2r) dándose la igualdad en el caso del triángulo equilátero. c.q.d.

Por ello se podría haber puesto

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