Problema 442.- (Propuesto por Cipriano Alejandro Coronel, UNASAM, Perú).

Se tiene un triángulo escaleno de lados a, b, c. Se pide demostrar que

donde S es el área del triángulo.,

Alejandro, C. (2008): Comunicación personal.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva)

Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Emplearemos la conocidas expresiones , donde es el semiperímetro, r es el radio de la circunferencia inscrita al triángulo, y R es el radio de la circunferencia circunscrita al mismo, junto con , donde es el área del triángulo.

La desigualdad dada es equivalente a las siguientes

donde la última desigualdad es la conocida desigualdad de Euler, que es estricta si el

triángulo no es equilátero, es decir, en nuestro caso.