Problema 443.- (Propuesto por J. M. Pedret, Ingeniero Naval, Esplugas de Llobregat, Barcelona).

Dadas dos fracciones, hallar su producto.

Pedret, J.M. (2008): Comunicación personal.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva)

Consideremos inicialmente, y sin pérdida de generalidad, dos fracciones de signo positivo y ; . El problema nos plantea determinar geométricamente su producto. Puesto que , determinaremos geométricamente primero los productos y y después su cociente.

Para determinar el producto basta con considerar dos semirrectas distintas r y s con origen común en un punto O arbitrario. Después situamos sobre una de ellas a partir de O y sucesivamente los segmentos unidad y el segmento a y sobre la otra, y también partiendo de O y sucesivamente los segmentos c y m. Este último se construirá trazando la paralela a los extremos que dejan c y el segmento unidad pasando por el extremo final de a. Según el teorema de Thales se tiene entonces que

De forma totalmente análoga se determina el producto, situando como antes el segmento d en lugar del a y el segmento b en lugar del c. De nuevo, según el teorema de Thales se tiene que

Finalmente, para determinar , basta con hacer otra aplicación del teorema de Thales. Sobre un origen común y arbitrario O situamos dos semirrectas r y s. Sobre una de ellas, sucesivamente, y a partir de O, situamos los segmentos de medidas m y n, respectivamente. Sobre la otra semirrecta, también sucesivamente, y a partir de O, situamos el segmento unidad. Unimos el extremo de este segmento con el extremo del segmento de magnitud n y después se traza desde el extremo del segmento de magnitud m una paralela a este segmento hasta cortar a la otra semirrecta, formándose el segmento , ya que según el teorema de Thales

que es lo que se pretendía.