Para el aula . Problema 446

D, E y F son los puntos medios de los lados BC, CA y AB de un triángulo. Una recta cualquiera que pase por A corta a las rectas DE y DF en G y H. Demostrar que CG es paralela a BH.

Aref, M.N., Wernick,W. (1968): Problems &Solutions in Euclidean Geometry. Dover Publications, Inc, New York. (pag. 59) (43)

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (1 de marzo de 2008)

SOLUCIÓN

Trazamos el enunciado.

Puede mover los elementos en rojo

figura 1 dinámica

Puede mover los elementos en rojo

Si estudiamos la figura vemos que H como punto de la recta FD es la imagen de G como punto de la recta DE por la proyección (perspectiva) de centro A.

Por lo tanto CG y BH son dos rectas homográficas de los haces de centro C y centro B respectivamente. Pero tres pares de elementos homólogos definen una homografía entre haces de rectas.

Si la recta por A es AC entonces G=E y H es el punto del infinito de AC entonces BH es paralela a AC. Por lo tanto CG y BH son paralelas.

Si la recta por A es AB entonces H=F y G es el punto del infinito de AB entonces CG es paralela a AB. Por lo tanto CG y BH son paralelas.

Si la recta por A es AD entonces G=H=D y, en consecuencia, CG y BH coinciden. Por lo tanto CG y BH son paralelas.

Vemos pues que la homografía es la homografía de rectas paralelas, como nos pide el enunciado que demostremos.