De investigación. Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. “EL SUR”, Huelva.

Problema 450.

Sea un triángulo ABC, con la notación habitual (Δ=área de ABC):

a)            Demostrar la igualdad

b)            Sea P uno de los puntos de Brocard del triángulo ABC, es decir, un punto interior al mismo tal que

donde Ω es el ángulo de Brocard. Admitiendo la existencia del punto P demostrar que Ω≤30°.

Vicario, V. (2007): Comunicación personal.

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (16 de marzo de 2008)

SOLUCIÓN

Antes de empezar, indicaremos una construcción fácil de los puntos de Brocard. La definición que se da en el apartado (b) conlleva dos posibilidades:

                i              ∠APB = π - B, ∠BPC = π - C, ∠CPA = π - A.

                ii             ∠AP’B = π - A, ∠BP’C = π - B, ∠CP’A = π - C.

La construcción de la figura es a partir de i. (Ver Trajan Lalesco, La géométrie du triangle, Vuibert, Paris 1952)

a)

Observando el triángulo APC de la figura deducimos (teorema de los senos)

si dividimos por SenA y desarrollamos

de donde obtenemos la ecuación [1]

Retomando la igualdad inicial

y análogamente

Y sumando las tres últimas igualdades

y añadiendo la ecuación [1]

b)

Si elevamos ahora la ecuación [1] al cuadrado, obtenemos la ecuación [2]

Si escribimos la siguiente suma de cuadrados

nos queda

e introduciendo ahora la ecuación [2]

pero Σ, como suma de cuadrados, es no negativa, luego