Problema 451.- (Propuesto por J. B.
Romero Márquez, profesor colaborador de
Sean
dos triángulos ABC y A´B´C´ y construimos los triángulos DEF y D´E´F´ circunscritos respectivamente a ABC y A´B´C´ y tales que
los lados de DEF(D´E´F´) sean paralelos a los lados respectivos de A´B´C´(ABC). Si designamos por t,
t´, T, T´ las áreas de ABC, A´B´C´,
DEF, D´E´F´, respectivamente, demostrar que se cumple la relación
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Resolución: (Vicente Vicario García,
I.E.S. El Sur, Huelva)
Utilizaremos la notación [XYZ] para el área del triángulo XYZ y [XYZW] para el área del cuadrilátero XYZW. Para la resolución del problema
consideramos como lema el teorema de Gergonne-Anne. Una demostración del mismo
se puede ver en el artículo “Algunos
teoremas y sus demostraciones” de J. C. Salazar, tristemente fallecido, en
la revista OIM de la que es editor F. Bellot y que exponemos por completo a
continuación en su recuerdo:
Lema
(Teorema de Gergonne-Anne): “Sean ABC
y A´B´C´ dos triángulos con lados
paralelos, uno dentro del otro, donde DEF
es un triángulo inscrito y circunscrito a cada uno de ellos. Entonces se cumple
la relación 
”.†
Demostración:
Sea el triángulo A´B´C´ de lados
paralelos a los lados del triángulo ABC
e interior al mismo. Entonces AA´, BB´, CC´ son concurrentes en O,
centro de homotecia. Podemos plantear entonces las siguientes relaciones con k razón de homotecia
Sea el triángulo DEF inscrito en el triángulo ABC
y circunscrito al triángulo A´B´C´,
con 
. Sea J la
proyección del centro de homotecia O
sobre el lado BC. Entonces, claramente
se tiene que con la notación ya introducida 
. Y por tanto
, y análogamente, 
Por tanto, tenemos que
[1]
Finalmente, por la homotecia se tiene 
y con [1] se termina
la demostración. ■
Nos centraremos ahora en nuestro
problema y nos ayudaremos del lema anterior. Consideremos el triángulo D´E´F´ de lados paralelos al triángulo ABC y circunscrito al triángulo A´B´C´. Consideremos también otro
triángulo D´´E´´F´´ inscrito en el
triángulo A´B´C´ y de lados paralelos
al D´E´F´. Es claro que por semejanza
de triángulos se tiene que
[2]
y
aplicando el lema anterior (teorema de Gergonne-Anne) tenemos que
[3]
y
sustituyendo [3] en [2] tenemos que 