Problema 455.- (Propuesto por Jean-Louis Ayme. Lycée Lislet Geoffrey 97400, France).

Sean las alturas de un triángulo acutángulo. Demostrar que los pies de las perpendiculares trazadas por a los segmentos , , y están alineados. es el punto que determina la recta de Miquel según el triángulo . (Profundización del problema 447 de esta revista).

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Denotaremos por Q, M, N, P los pies de las perpendiculares trazadas desde a los segmentos ,, yrespectivamente. Sea H el ortocentro del triángulo ABC que como es bien sabido será interior al mismo puesto que es un triángulo acutángulo.

Sea la circunferencia circunscrita al triángulo, rectángulo en . Su centro está ubicado en el punto medio de la hipotenusa AC y claramente la recta de Simson asociada al punto (que pertenece a puesto que es recto abarcando un diámetro) es la recta que pasa por los puntos QMP, proyecciones ortogonales de sobre los lados (o prolongaciones) del triángulo .

Sea la circunferencia circunscrita al triángulo , rectángulo en . La recta de Simson asociada al punto (que pertenece a puesto que es recto abarcando un diámetro) es la recta que pasa por los puntos PNQ proyecciones ortogonales de sobre los lados (o prolongaciones) del triángulo. De aquí deducimos que las rectas QMP y PNQ son coincidentes.

Finalmente, para demostrar que es el punto que determina la recta de Miquel según el triángulo basta con observar que los ángulos , y son todos iguales entre sí. La demostración es elemental y es conocido sobre el triángulo órtico las relaciones angulares , etc.