In memoriam

Dedicado a Juan Carlos Salazar, colaborador y amigo. Descanse en paz.

Dedicado a Milagros.

Problema 456. En el triángulo ABC, D es un punto interior tal que: ∠ABD = 10°, ∠CBD = 70°, ∠ACD = 20°, ∠BCD = 40°. Probar que AD es perpendicular a BC.


Juan Carlos Salazar (2004): Comunicación personal


Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (4 de abril de 2008)

 

SOLUCIÓN

 

Dibujamos el enunciado


dibujo del enunciado


Debemos hallar el ángulo ∠BAD al que denominaremos α.


Aplicamos el teorema de los senos al triángulo ABD donde el enunciado nos lleva a


Teorema de los senos en ABD

en el triángulo BDC

teorema de los senos en BDC

en el triángulo ACD

teorema de los senos en ACD


Multiplicando las tres igualdades obtenidas miembro a miembro, obtenemos


multiplicamos miembro a miembro


Simplificando

simplificamos


y teniendo en cuenta la igualdad trigonométrica


expresión del seno en forma de coseno.gif

nos queda

aprovechamos la expresión anterior.


Introducimos ahora el ángulo doble


expansión del ángulo doble

y simplificando, obtenemos la ecuación1

simplificación con la fórmula del ángulo doble.


Si observamos la ecuación 1, podemos ver para que valor de α obtenemos una igualdad de senos compatible con la ecuación y así evitamos la resolución numérica de la ecuación. Por ejemplo, una condición sería


una condición para que nos quede una igulada entre dos senos


valor que sustituido, de nuevo, en la última ecuación confirma que


consistencia del resultado con la ecuación


E es la intersección de AD y BC


Llamemos E al punto de encuentro de AD con BC.


Tomamos ahora el triángulo AEB y calculamos el ángulo ∠AEB


comprobación de la perpendicularidad


que nos demuestra que AE es perpendicular a BC y por tanto AD y BD son perpendiculares (c.q.d.).