Problema 457

Determineu la relació que han de tenir els catets del triangle rectangle , a fi que al construir el triangle , C’ simètric de C respecte del costat i el triangle amb B’ simètric de B, respecte del punt mig del costat , els triangles , siguen semblants al triangle essent G el baricentre del triangle .

Solució Ricard Peiró i Estruch:

Considerem el triangle amb les següents coordenades cartesianes:

, , .

Siga M el punt mig del costat . Les seues coordenades són: .

Siga G el baricentre del triangle . Les seues coordenades són: .

Siga C’ el punt simètric de C respecte de . Les seues coordenades són: .

Siga B’ el punt simètric de B respecte de M. Les seues coordenades són: .

Si és semblant al triangle , aleshores, .

, . El producte escalar és zero:

. Aleshores, . Vegem que en aquestes condicions és semblant al triangle .

,

. Aleshores, són semblants.

Si és semblant al triangle , aleshores, .

, . El producte escalar és zero:

. Aleshores, . Vegem que en aquestes condicions és semblant al triangle .

,

. Aleshores, són semblants.