Dedicado a Juan Carlos Salazar por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 457

Hallar la relación que deben verificar los catetos del tríangulo ABC, rectángulo en A, para que al construir el triángulo ABC´ simétrico con respecto al lado AB, el triángulo ACB´ con B´ simétrico de B, respecto al punto medio de AC, los triángulos C´B´B y GB´C´, sean semejantes al triángulo ABC siendo G el baricentro de este último triángulo.

Romero, J.B. (2008): Comunicación personal.

Solución Ricard Peiró i Estruch:

Consideremos el triángulo con las siguientes coordenadas cartesianas:

, , .

Sea M el punto medio del lado . Las coordenadas son: .

Sea G el baricentro del triángulo . Las coordenadas son: .

Sea C’ el punto simétrico de C respecto de . Las coordenadas son: .

Sea B’ el punto simétrico de B respecto de M. Las coordenadas son: .

Si és semejante al triángulo , entonces, .

, . El producto escalar es cero:

. Entonces, . Veamos que en estas condiciones es semejante al triángulo .

,

. Entonces, son semejantes.

Si es semejante al triángulo , entonces, .

, . El producto escalar es cero:

. Entonces, . Veamos que en estas condiciones es semejante al triángulo .

,

. Entonces, son semejantes.