Problema 460

Caracteritzeu els triangles de costats a, b, c i altures , respectivament, i , essent i les projeccions ortogonals dels costats b i c, respectivament, i verificant .

Solució:

Siga el triangle .

Siga , altura del triangle, , .

Suposem que , .

Aplicant raons trigonomètriques als triangles rectangles , :

, .

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

, . Simplificant:

, . Dividint les dues expressions:

(1)

Per hipòtesi, .

Calculant l’àrea del triangle :

, aleshores:

. Aleshores:

(2)

Igualant les expressions (1) i (2):

.

.

.

.

.

.

i per la desigualtat triangular, .

Aleshores, , és a dir el triangle és isòsceles, .

Suposem que . .

Per hipòtesi, , aleshores, .

Per ser el triangle , rectangle . Aplicant l’àrea del triangle:

, aleshores,

, aleshores, , la qual cosa és absurda ja que .

Anàlogament si , no hi ha possible triangle.

Suposem que , aleshores, , per tant, . Per tant, també s’assoleix la igualtat .