Problema 461

En un triangle rectangle , , de catet constant, siga l’altre catet variable. En la circumferència circumscrita al triangle, siga S l’àrea del menor dels dos segments circulars determinats pel catet . Determineu .

Vicario, V. (2008): Comunicación personal (Tomado de Las Oposiciones de Andalucía de 1996 (anotación de Ricard Peiró))

Solució de Ricard Peiró:

El centre O de la circumferència circumscrita d’un triangle rectangle és el punt mig de la hipotenusa. El radi és la meitat de la hipotenusa, .

Siga . .

L’angle , per ser angle central i .

L’àrea del sector de centre O i arc AC és: .

L’àrea del triangle és la meitat de l’àrea del triangle , ja que O és el punt mig de la hipotenusa.

L’àrea del triangle és: .

L’àrea del segment circular és:

.

.