Problema 461

En un triángulo rectángulo ABC, el cateto AB es constante de longitud c, siendo el otro cateto AC de longitud variable b. En la circunferencia circunscrita al triángulo, sea el área del menor de los segmentos circulares determinados por el cateto AC. Hallar .

Vicario, V. (2008): Comunicación personal (Tomado de Las Oposiciones de Andalucía de 1996 (anotación de Ricard Peiró))

Solución de Ricard Peiró:

El centro O de la circunferencia circunscrita de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa. El radio es la mitad de la hipotenusa, .

Sea . .

El ángulo , por ser ángulo central y .

El área del sector de centro O y arco AC es: .

El área del triángulo es la mitad del área del triángulo , ya que O es el punto medio de la hipotenusa.

El área del triángulo es: .

El área del segmento circular es:

.

.